“不過，你證明裡有一個地方可以再精簡。”他從檔案袋裡抽出一張草稿紙，鋪在講臺上，畫了一個簡圖，“從Turán極圖的穩定子類到同調群維數計算的那一步過渡，你用了一個輔助構造。其實如果你直接利用Turán圖本身的分層結構，可以少繞一步。”
陸沉看著彭老師在草稿紙上畫的那個簡圖。
那是一個比他的原證明更簡潔的構造——把Turán圖的r部劃分直接對應到單純復形的r維骨架，然後通過計算骨架的同調群維數來得到極值的下界。
這個構造繞開了他原來那個輔助商構造，節省了大約三分之一的推導長度。
他盯著那張圖看了十幾秒，然後抬起頭。
“彭老師，這個構造——如果推廣到禁止任意圖H的情況，還能用嗎？”
彭老師的眼鏡片後面閃過一絲光。
“你問到點子上了。對於一般的H，Turán圖的分層結構不再直接對應於同調維數的極值。這也是為什麼圖蘭定理的擴充套件形式——埃爾德什-斯通定理——的證明比經典圖蘭定理複雜得多。”
他把草稿紙折起來遞給陸沉。
“這張你留著。推廣的事，不急。先把經典情況吃透。”
陸沉接過草稿紙，摺好夾進便籤本里。
走出教室的時候，王雪松在走廊裡等他。
王雪松手裡拿著筆記本，翻到某一頁，上面畫著一個和彭老師剛才畫的類似的圖——但方向不同。
王雪松畫的是把極值圖論問題轉化為矩陣特徵值估計的思路。
“我剛才聽彭老師講你那第二種證明路徑的時候，忽然想到的。”王雪松把筆記本遞過來，“如果把圖的鄰接矩陣的特徵值和圖的同調群聯絡起來，是不是可以建立一個統一的框架？”
陸沉看著王雪松筆記本上那張圖。
圖的鄰接矩陣——拉普拉斯矩陣——特徵值分佈——譜半徑——與同調群的貝蒂數之間的不等式關係。
王雪松畫的箭頭從左上角一直連到右下角，中間經過了四五個中間步驟，每一步旁邊都標註了需要證明的引理。
這不是一個隨手的想法。
這是一個有完整骨架的研究提綱。
“你這個框架。”陸沉看完以後說，“如果建成了，能把極值圖論和譜圖論打通。”
王雪松把筆記本收回去，合上。
“我知道。但中間需要證的引理太多了，我一個人短時間內證不完。等集訓結束，如果你有興趣——”
他沒有說完。
陸沉說：“有興趣。”
王雪松點了點頭，把筆記本放進書包裡，往食堂的方向走去。
走了幾步又回頭：“今天食堂有紅燒帶魚，走快點。”
晚飯確實有紅燒帶魚。
陸沉打了一份，坐在陳志遠旁邊吃。
陳志遠今天異常安靜，整個吃飯過程中只說了兩句話，一句是這帶魚刺真多，另一句是幫我遞一下醋。
陸沉知道他在想什麼。
下午彭老師講圖蘭定理的時候，陳志遠一直在記筆記，記得很認真，但他記筆記的方式和其他人不一樣。
他記的不是彭老師講的內容本身——那些內容講義上都有。
他記的是彭老師在講解過程中隨口說的那些話：這個構造的關鍵在於找到合適的分層、這裡的估計如果改用另一種範數可能會更緊、這個方向目前還沒有人做過。
這些話彭老師說出來可能自己都沒太在意，但陳志遠把它們全記下來了。
晚自習的時候，陳志遠把筆記本攤開，對照著彭老師課堂上說的那些還沒有人做過的方向，一條一條地查資料。
閱覽室裡的資料有限，他翻遍了書架上的《數學通報》合訂本和幾本論文集，找到了其中兩個方向的相關文獻，另外三個方向確實如彭老師所說，幾乎是一片空白。
他合上最後一本論文集，靠在椅背上，盯著天花板看了很久。
“陸沉。”他說。
“嗯。”
“你說，一個人如果知道自己可能走不到最後，那他在路上做的這些事，記的筆記，查的資料，想到的點子，還有沒有意義？”
陸沉停下筆。
閱覽室的日光燈嗡嗡地響著，窗外有風搖動樹枝的影子映在窗簾上。
他想了很久，然後說：“有。”
“為什麼？”
“因為路不止一條，集訓隊是一條路，國家隊是一條路，IMO是一條路。但數學本身是一條更長的路，你今天記的那些還沒有人做過的方向，也許五年以後、十年以後，你會真的去做它們。到那時候，沒有人會問你你當年進國家隊了嗎。他們只會看你做出來的東西。”
陳志遠聽