能用，不代表能做研究。
【基础统计思维已内化。】
【现代统计体系需重修。】
【常微分方程】
已经攻克本科基础。
一阶方程、二阶线性方程、振动方程、阻尼、受迫振动、稳定性、相图、线性化，都能重建。
这不是因为刷了多少题。
而是因为废土里到处都是随时间演化的系统。
他早已不再害怕某个量随时间变化。
如果一个问题没有时间项，他反而会怀疑是不是模型太粗。
但理论层面他没有深追。解的存在唯一性定理他知道结论，不能自己证明。非线性系统的深层理论，混沌，动力系统严格理论，只能写。
【知道入口。】
【不能装懂。】
【偏微分方程与数学物理方法】
本科物理所需工具，已经能用。
热传导方程、波动方程、泊松方程、拉普拉斯方程，傅立叶展开、正交函数、分离变量、格林函数，这些东西不敢说精通，却已经不会被吓住。
傅立叶级数和傅立叶变换是其中最扎实的部分。
量子力学里动量表象和位置表象的转换，把傅立叶变换逼到了一个更深的位置，知道它不只是拆解信号的工具，而是两种描述语言之间的翻译。
但知道，方程本身不是全部。
边界条件才是现实伸进数学里的手。
同一个方程，边界不同，世界不同。
他在石屋保温、太阳能板受光、农田水分扩散、风声穿过门缝这些问题里，反复见过边界这个词的重量。
特殊函数（勒让德多项式、球谐函数）：能用，但理解层次他自己不确定。
量子力学角动量部分把这些东西用了一遍，做对了题，但有时候感觉是在走步骤，不是真的理解。
这个差别，是他这些年学会区分的最重要的事情之一。
走步骤什么都没有，只有步骤本身，比假懂更危险，因为假懂至少还有一个错误的理解在那里撑着。
【本科物理数学工具可用。】
【边界条件意识很强。】
【严格数学理论不足，不能装成数学专业。】
【复变函数】
工具性掌握。
留数法、围道积分、解析函数、级数展开，这些东西他能用来服务物理问题。
他知道复平面不是花架子。
有些实轴上难走的路，绕到复平面上反而能走通。
但复分析的严格理论、解析延拓的深层结构，他不能装懂。
【物理计算够用，数学深度不足。】
【数值方法与计算物理】
废土低配环境下，已经形成实用能力。
有限差分、简单迭代、数值稳定性、步长选择、误差积累，他都吃过亏。
知道计算结果不是答案。
一个程序跑出数字，不代表世界已经交代清楚。
数值方法最重要的不是算出来，而是知道它什么时候会发散，什么时候只是把错误写得更精确。
但真正现代计算物理、高性能计算、复杂仿真，他没有条件系统训练。
这一项写。
【低配数值建模可用，现代计算体系需现实补课。】
【理论力学】
本科主干已经攻克。
牛顿、拉格朗日、哈密顿，不再是三套公式，而是三种看世界的高度。
牛顿看局部受力。
拉格朗日往后退一步，看整个系统的自由度和能量结构，不追约束力，只追真正能动的方向。
哈密顿再往后退，看状态和路径的整体演化，把位置和动量放在同等地位，把力学变成了相空间里的几何。
他用风力提水设备第一次理解了什么叫不要追每一根绳子的张力。
知道广义坐标不是换名字，而是抓住真正的自由度。
知道作用量取驻值，不是自然永远选最省的路这种粗糙鸡汤，而是一个关于路径的变分条件，背后有严格的数学。
拉格朗日方程他能从变分原理推出来，不是背出来的，是真的理解了变分的逻辑。
哈密顿力学他理解，正则方程、泊松括号、正则变换，这些他都做过题，能用。
有一扇门他一直看见，却还没推开。
从哈密顿力学到哈密顿-雅可比方程，那个过渡他做过几遍，步骤能跟上。
可它和量子力学之间的联系，薛定谔方程在某个极限下退化为哈密顿-雅可比