图书馆的角落，仿佛变成了一个与世隔绝的领域，一个只属於许燃和简瑶的【思维殿堂】。
“所以，我们的图g，顶点集是pg(2，5)的31个点。
两个顶点相邻，若且唯若它们在pg(2，5)中『不共线』。”
许燃迅速地做出了总结，思路清晰。
“接下来，我们要验证两个关键性质。”
他看向简瑶，“第一，这个图g中，是否存在一个k5子图，也就是『5个顶点互相相邻』的团？”
这个问题，如果用暴力去验证，对於一个31阶的图来说，无异於大海捞针。
但现在，有了代数和几何的武器，一切都变得不同。
简瑶的心思已经完全沉浸了进去。
她那天才的大脑在许燃的引导下，爆发出惊人的能量。
“等一下！”
她突然伸出手指，点在“不共线”三个字上，美眸中闪烁著激动的光芒，“如果五个顶点a，b，c，d，e构成一个k5子图，就意味著它们两两之间都『不共线』。”
“但是！”
她的语速开始加快，“在射影平面pg(2，-，5)中，任意两个点（比如a和b）都確定一条唯一的线l_ab。那么，第三个点c，它既不能在l_ab上，也不能在l_ac上，也不能在l_ad上……”
她说到这里，突然卡住了。思路似乎走进了一条死胡同。
许燃没有直接给她答案，而是换了一种问法，像一个循循善诱的导师。
“换个角度想。我们来证明它的逆否命题。如果我们任意取出五个点，能不能证明，它们之中，必有两点是『共线』的？”
这个问题像一把钥匙，瞬间捅破了那层窗户纸！
“我明白了！”简瑶的呼吸变得急促，“我们任取五个点a，b，c，d，e。先看a，b，c三点。如果它们共线，那结论就成立了，我们找到了『共线』的两个点（甚至三个）。”
“那如果它们不共线呢？”许燃追问。
“如果a，b，c不共线，那么它们就能確定三条不同的直线l_ab， l_ac， l_bc。
这三条直线，在pg(2，5)中……”
简瑶一边说，一边快速地在纸上画著示意图，“……会交於a，b，c三个点。”
“现在，我们放入第四个点d。
如果d在这三条线中的任意一条上，比如在l_ab上，那么a，b，d就共线，结论成立。”
“如果d不在这三条线的任何一条上呢？”许燃的声音带著一种引人入胜的魔力。
“那么……d和a，b，c三点，就能確定三条新的线l_ad， l_bd， l_cd。
现在我们一共有六条线了！”
简瑶感觉自己的大脑在高速燃烧，“这六条线，最多会產生c(6，2)=15个交点，但很多是重合的……
不对不对，这个思路太复杂了！”
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她有些懊恼地抓了抓头髮。
许燃只是安静地看著她，没有打断。他知道，这是天才在突破自我时，必经的“阵痛”。
过了足足一分钟，简瑶的眼睛，猛地亮了起来！
“是『鸽巢原理』！”
她激动地喊了出来，声音都有些发颤，“在pg(2，5)里，每一条线上，有q+1=6个点！而任何一个点，都恰好在q+1=6条线上！”
“我们来看点d！”
她指著草稿纸，“通过点d，可以画出6条不同的直线！
这6条直线，要把除了d以外的所有点都覆盖掉。”
“而我们还剩下a，b，c，e四个点！不对……思路又乱了！”
看著简瑶陷入苦战，许燃终於决定，轻轻地推她一把。
“不要去数线的数量。”
他轻声说，“回到最基础的性质，两点確定一条直线。”
“我们有a，b，c，d四个点，假设它们之中任意三点都不共线。
它们能確定c(4，2)=6条不同的直线。”
“现在，我们放入第五个点，e。”
“e点，它有多少种可能的位置？”
“如果e落在这六条直线中的任何一条上，比如l_ab，那么e，a，b就共线了，证毕。”
“如果e不落在这六条直线的任何一条上呢？这可能吗？”
许燃问出了最后一个，也是最关键的问题。
简瑶的大脑，如同被一道闪电劈中！
“不可能！”